Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

Ja, guten Morgen zusammen. Jetzt sollte es einen Bruch in der Vorlesung geben,

jetzt sind wir sozusagen nach dem Und und die Vorlesung sollte sich jetzt mit Optimierungsverfahren

beschäftigen, das wird sie auch tun, aber ich gehe mal davon aus, dass sie alle die Einführung,

die Numerik gehört haben, ein sehr großer Teil der relevanten Überlegungen schon dort stattgefunden

haben, haben wir vielleicht noch so anderthalb Minuten Zeit, was anderes zu machen und insofern

kann ich der Versuchung nicht widerstehen, doch noch mal einen allerletzten Ausblick auf

partielle Differenzialgleichungen ihre Numerik zu geben, denn was wir bisher können ist da doch,

naja, eher bescheiden. Im Prinzip können wir sowas hier, also so ein bisschen, die Poisson-Gleichung,

ich schreibe es mal so, für x aus Omega und dann haben wir eine Randbedingung, zum Beispiel

u gleich Null für x aus Delta Omega. Das ist eine stationäre Beschreibung, da gibt es räumliche

Variationen, die getrieben sind von Erhaltung, hier Massenerhaltung und einer gewissen konstitutiven

Bewegung, hier ganz einfach diffusive oder konduktive Bewegung, je nachdem, ob man das

als Temperatur oder als Konzentration interpretiert, naja, üblicherweise ist nicht alles stationär,

die Dinge bewegen sich, ändern sich in der Zeit und wenn überhaupt ist das sozusagen ein

Sonderfall und wenn man jetzt sagt, okay, ich betrachte so eine Massenerhaltung oder so eine

Energieerhaltung, aber ich habe nicht nur räumliche Variation, ich habe auch zeitliche

Variationen, da muss man natürlich diese zeitliche Veränderung in den Erhaltungsgleichungen hier

berücksichtigen und wenn Sie sich grob erinnern, wie das war, wie man so eine Gleichung hergeleitet

hat, man schaut sich irgendwie ein Kontrollvolumen an und schreibt die Erhaltung dorthin und dann

dieser Term, der kommt dann über das konstitutive Gesetz und den gaussischen Integralsatz,

mit Hilfe dessen wir dann das Randintegral, also den Zu- und Abfluss über den Rand, umschreiben

können in das Volumenintegral einer Divergenz, das ist das, was da steht, Divergenz von Gradient,

dann kommt jetzt hier ein Term dazu, der sich sozusagen um die zeitliche Änderung kümmern

muss, wenn sich etwas ändert, dann kann es über Zu- und Abfluss geschehen, dann kann es über

verteilte Quellen geschehen oder es kann eben aufgrund der zeitlichen Variation geschehen,

das heißt im einfachsten Fall kommt hier noch eine Zeitableitung dazu. So, jetzt haben wir also eine

Funktion, die ist nicht nur, sagen wir es mal so, das ist eine Funktion nicht nur von x, sondern auch eine Funktion

von t. x ist irgendwie 1, 2, 3 oder 27-dimensional, typischerweise 1 bis 3, aber es gibt auch die

höherdimensionalen Fälle, t ist ganz einfach ein Zeitintervall, so wie wir es die ganze Zeit jetzt schon

bei den gewöhnlichen Differenzialgleichungen sehen, das heißt wir haben sozusagen einen

Anteil gewöhnliche Differenzialgleichungen und einen Anteil räumliche, partielle Differenzialgleichungen,

die jetzt zusammenkommen, das Ganze ist also hier jetzt auch aus einem Zeitintervall, den Zeitpunkt

setze ich mal 0, wie wir es immer auch schon durch Translation des Öfteren mal gemacht haben, in der

Zeit die Randbedingungen entsprechend, hier darf jetzt auch das F von t abhängen, wenn ich etwas

allgemeinere Randbedingungen habe, dürfen auch die Inhomogenitäten da von t abhängen, das wäre sozusagen

das aller, aller, aller einfachste Modell, das heißt also von der Notation haben wir es jetzt nicht

nur mit einem Omega zu tun, sondern einen Raumzeitzylinder qt und der Rand davon, der Rand ist nicht mehr nur

das Delta Omega, sondern der Rand dieses Raumzeitzylinders, das heißt also das Gebiet, wenn man es mal

eindimensional darstellt, eindimensional, also weiterhin Omega Teilmenge rd, nehmen wir mal den Fall d

gleich 1, da hätten wir hier unser Omega und zusätzlich haben wir jetzt noch unser Zeitintervall

hier, das heißt also wir haben jetzt hier sozusagen im eindimensionalen einfach so einen Raumzeitrechteck

und im mehrdimensionalen, wenn ich das mal so perspektivisch andeute, haben wir eben, jetzt muss ich die

gleiche Kartoffel hier nochmal irgendwo hinkriegen, naja so ungefähr sieht das dann so aus, okay, naja

eigentlich müssten wir jetzt sagen, was solls, können wir ja alles, denn wir können die eine Seite

und wir können die andere Seite, wir können gewöhnliche und wir können stationäre Partielle, was würde

das bedeuten, es hat mal zwei mögliche Zugänge, die man da machen kann, nämlich man kann jetzt sagen

wir diskretisieren erst in der Zeit und dann im Ort oder erst im Ort und dann in der Zeit, fangen wir mal

mit dem zweiten an, so wenn man jetzt mal auf diese Gleichung hier schaut und die man für einen festen

Zeitpunkt festhält und jetzt mal für einen Moment annimmt, das hier ist eine gegebene Funktion, dann ist